#数学趣题# 一次奇妙的数学之旅:丢番图方程(a^2+b^2)(c^2+d^2)=n^2求解

admin 2022-02-17 AM 1318℃ 0条

丢番图方程(a^2+b^2)(c^2+d^2)=n^2求解
yuange

一、问题
丢番图方程(a^2+b^2)(c^2+d^2)=n^2 (1)的正整数解。
因为齐次,可以只考虑(a,b)*(c,d)=1。

(1)可以等效转化成(1+A^2)(1+B^2)=C^2 (2)的有理数解。

(2)再变化一下(1+A^2)^0.5/(1+B^2)^0.5=m

(1+a^2)^0.5/(1+b^2)^0.5=m (3)
a、b、m的有理数解。

(3)的形式想到了什么?

过原点位于第一象限斜率为a、b的两条直线,其角平分线斜率为k。做直线x=1,由角平分线得到:
(1+a^2)^0.5/(1+b^2)^0.5=m=(a-k)/(k-b)

k=b+(a-b)/(m+1)
k、m同为有理数或者无理数。巧妙的把根号去掉了,成了多项式了。

用三角函数得到:
tanx=a
tan(x+y)=k
tan(x+2y)=b
b>=k>=a>0

b=tan((x+y)+(x+y-x))
=(k+(k-a)/(1+ka))/(1-k*(k-a)/(1+ka))

b=(2k-a+ak^2)/(1+2ka-k^2) (4)

(a+b)k^2+(2-2ab)k-(a+b)=0

a=tan((x+y)+(x+y-(x+2y)))
a、b是对称的,(4)中a、b可以互换。

(3)和(4)等价,任意给定a、k就能确定b了。

(4)可以简单的看出,k=2a是一个a、b的正整数解,可以进一步得到其它正整数解。

a=A/X,(A,X)=1
k=K/Y,(K,Y)=1

b=(2k-a+ak^2)/(1+2ka-k^2)
=(2KXY-AY^2+AK^2)/(XY^2+2KAY-K^2X)

b=(A(K^2-Y^2)+2XKY)/(2AKY-X(K^2-Y^2))
=c/d

(A^2+X^2)((A(K^2-Y^2)+2XKY)^2+(2AKY-X(K^2-Y^2))^2)

(A^2+X^2)((A(K^2-Y^2)+2XKY)^2+(2AKY-X(K^2-Y^2))^2)
=(A^2+X^2)^2*(Y^2+K^2)^2

(A^2+X^2)(c^2+d^2)m^2=n^2
c^2+d^2=(a(K^2-Y^2)+2bKY)^2+(2aKY-b(K^2-Y^2))^2
A,X,K,Y,4个自由度。

二、有趣的正整数解
考虑(1+a^2)(1+b^2)=c^2 (2)的正整数解。

b=(2k-a+ak^2)/(1+2ka-k^2) (4)

(4)可以简单的看出,k=2a是一个a、b的正整数解,可以进一步得到其它正整数解。研究后发现有一个递推多项式都满足。

多项式数列f(n,x)
f(1,x)=x
f(2,x)=4x^3+3x
f(n+1,x)=(4x^2+2)*f(n,x)-f(n-1,x) (5)

f(3,x)=16x^5+20x^3+5x
f(4,x)=64x^7+112x^5+56x^3+7x
f(5,x)=256x^9+576x^7+432x^5+120x^3+9x

x为任意正整数,任意f(n,x)就是(2)中a、b的一个解。

相同项(k=a=b)或者相邻项可以得到a、b、k的正整数解。

f(n,a)
=1/2((1+a^2)^0.5-a)(2a^2+1+2a*(1+a^2)^0.5)^n
-1/2((1+a^2)^0.5+a)(2a^2+1-2a*(1+a^2)^0.5)^n (6)

=1/2(1+a^2)^0.5((2a^2+1+2a(1+a^2)^0.5)^n-(2a^2+1-2a(1+a^2)^0.5)^n)-1/2a((2a^2+1+2a(1+a^2)^0.5)^n+(2a^2+1-2a(1+a^2)^0.5)^n)

1,7,41,239,1393,8119,47321,275807,1607521,… 2,38,682,12238,219602,… 3,117,4443,168717,6406803,… 4,268,17684,1166876,… 5,515,52525,5457035,… 6,882,128766,18798954,… 7,1393,275807,54608393,…
上面分别是a=1-7的结果,一行里相邻两个数为斜率过原点的直线,角平分线斜率也为整数。
如果a是f(n,b)的一个值,其整个f(n,a)就是f(n,b)的一个子序列。

三、再扩展

(a^2+b^2)=n^2*m (7)
1+a^2=n^2*m (8)

m不是完全平方数,否则方程太平凡。

对于素数p,a^2+b^2=c^2*p (9)
费马定理,p=4k+3无解,否则有c=1的解。

(a^2+b^2)p1(c^2+d^2)p2=((ac+bd)^2+(ad-bc)^2)(p1*p2)

所以m有4k+3的的1次质因子(7)就无解,否则有解。

(8)是(7)的一个子集,看看有什么结果。

1+a^2=n^2m (8)变换一下就是a^2-mn^2=-1就是著名的pell方程二型。m^0.5是奇偶连分数对应无解和有解,解的通用表达式也都有了。
还和著名的丢番图数论pell方程发生了联系,这方程涌现了费马、拉格朗日、欧拉等一帮大牛人。
(9)也可以看成a^2-d*b^2=c(10) 广义pell方程特殊形式。
(8)二型pell方程可以说是所有的pell方程(10)的最本原问题,因为(-1)^2=1,所以如果得到二型的解,两个二型乘积一下就能得到一型,再变换就可以得到广义的解。但有些d是偶连分数,只能得到1而不能得到-1。

(1+a^2)(1+b^2)=n^2 (2)也是pell方程相关,独立得到了二类pell方程(8)通解形式的解。

(5)、(6)这个f(n,a)实际上给出了所有二型pell方程的通解,以及递推形式。

pell方程比较有意思,对数论有兴趣的可以去看看,这个已经完全解决了,这里就不再展开讲了。对数论有兴趣的还可以去看看连分数。连分数对于数的分数逼近具有最佳的效果,以及数论同余简直太重要了,有幸初中接触了一本薄薄的《连分数》,不记得谁写的了,那时候真的是觉得太神奇了。祖冲之得到圆周率Pi的一些近似数值,要用有理的分数表示就可以用连分数来算。
连分数的相邻项积的差值+-1交替出现,这个+-1就是整数的基础,所以很多结果都和它有关。因为是交替出现,所以很多时候也有奇偶问题,对于有些情况比如pell方程的二型的有些m本原就是1,得不到-1就无解。

连分数的介绍请自行百科。

四、问题缘由
问题来源于求一道角平分线斜率的题,两条整数斜率的直线发现角平分线不是整数,于是研究什么情况三条线斜率都是整数。竟然发现奇妙的和常见的一个pell丢番图方程是一个问题。
这个扩展也算实现了数学世界里的一次奇妙旅行,走了费马、欧拉等大牛数学家的一次旅游路线。

到了这里,终于算是可以结题了。

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